امواج هدايتشده فراصوت سرعت فاز سرعت گروه ساختار موج سطح مقطع مستطيلی.

Transcript

1 دوره 48 شماره 2 تابستان 1395 صفحه 187 تا 196 Vol. 48, No. 2, Summer 2016, pp نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک AmirKabir Jounrnal of Science & Research Mechanical Engineering ASJR-ME بررسي اثر نسبت اضالع ميله در انتشار امواج هدايتشده فراصوت در ميله اي با مقطع مستطيلی 2 مرتضی رفیعی 1* خسرو نادران طحان 1- کارشناسی ارشد گروه مهندسی مکانیک دانشکده فنی مهندسی دانشگاه شهید چمران اهواز 2- استاد گروه مهندسی مکانیک دانشکده فنی مهندسی دانشگاه شهید چمران اهواز چکیده )دریافت: 1392/3/7 پذیرش: 1394/4/8( در اين پژوهش تأثير نسبت اضالع مقطع يك ميله با مقطع مستطيلی بر سرعت امواج طولي پيچشي و خمشي بررسي شده و جابجايي ذرات ميله در مجاورت سطوح آزاد آن به دست آمده است. حركت موج در يک ميله با مقطع مستطيلی بايد بهصورت سهبعدي تحليل شود. در دستگاه معادالت همگني كه براي تأمين شرايط مرزي سطوح بدون تنش تشكيل ميشود ضرايب نامعيني ظاهر ميشوند كه براي وجود جواب غير بديهي بايد دترمينان ضرايب اين دستگاه برابر صفر شود. بهاينترتيب معادله مشخصه امواج قابلانتشار به دست ميآيد. با نوشتن يک برنامه رایانهای ريش ههاي حقيقي اين معادله استخراج و نمودارهاي طيف فركانس سرعت فاز سرعت گروه و ساختار موج براي امواج طولي پيچشي و خمشي رسم ميشوند. با افزايش نسبت اضالع مقطع ميله مشاهده م يشود که با افزايش فرکانس سرعت فاز امواج طولي و پيچشي كاهش يافته در حالي كه سرعت فاز امواج خمشي افزايش يافته است. همچنين براي برخی از مودها تغيير مكان ذرات در مجاورت سطح قابلمالحظه و در برخی از مودهاي ديگر اين تغيير مكان ناچيز است. کلمات کلیدی: امواج هدايتشده فراصوت سرعت فاز سرعت گروه ساختار موج سطح مقطع مستطيلی. * نویسنده مسئول و عهدهدار مکاتبات: morteza.rafiei@ymail.com

2 بررسي اثر نسبت اضالع ميله در انتشار امواج هدايتشده فراصوت در ميله اي با مقطع مستطيلی 1-1 مقدمه امروزه استفاده از امواج هدایتشده فراصوت بهعنوان یکی از آزمونهای غیر مخرب در صنایع مختلف کاربردهای فراوان و روبهرشدی دارد و بهعنوان راهی برای تعیین و تشخیص عیوب مختلف مورد استفاده قرار م یگیرد. پژوهشهای بسیاری پیرامون انتشار موج در ورقها و لولهها انجام شده است اما هنوز حل دقیقی برای بسیاری از مقاطع وجود ندارد. علت این محدودیت بیشتر از این روست که در ورقها معموال دو بعد از جسم را میتوان بینهایت فرض کرد و در استوانهها میتوان از خواص تقارن محوری جسم و انتشار موج برای سادهسازی و حل معادالت استفاده نمود اما در ميل ههایي با مقطع مستطيلی یافتن مؤلف ههاي بردار تغيير مکان که تمام شرايط مرزي را روي سطوح آزاد میله تأمين کنند و درنتيجه تشکيل معادله مشخصهاي که به کمک آن بتوان مشخصههاي انتشار امواج فراصوت مثل طيف فرکانس سرعت فاز و سرعت گروه را به دست آورد بسيار پيچيدهتر است. تأثير مؤلفههاي جانبي حرکت بر مؤلفه طولي و تابش و بازتاب امواج روي سطوح اضافي ميل ههاي مستطيلي مسأله را از حالت يک و يا دوبعدي به يک مسأله سهبعدي تبديل ميکند که براي حل معادالت حاکم بر حرکت بايد فرضيات سادهکننده و تقري بهاي مناسبي را به کار برد موضوعاتي که تالش پژوهشگران را در ده ههاي گذشته به خود اختصاص داده است ]1[. با تشکيل معادله مشخصه براي موج طولي بهصورت تئوري ]2[ و همچنين با انجام آزمايش بهصورت تجربي ]3 و 4[ نشان داده شده است که سرعت فاز مود اول امواج طولي در ميلهاي با مقطع مستطيلي نسبت به سرعت فاز اين امواج در يک حجم نامحدود با افزایش فرکانس کاهش يافته و به سرعت فاز امواج سطحي م يرسد. براي بررسي تأثير نسبت اضالع و فرکانس بر سرعت فاز مودهاي مختلف عالوه بر ميلههاي با مقطع مستطيلی ]5[ ميلههايي با مقاطع مختلف دیگر نيز مورد مطالعه قرار گرفتهاند ]6[. براي بررسی انتشار امواج در ميلهها اغلب از روش حل تحليلي دقيق براي يک صفحه و يا استوانه استفاده م يشود اگرچه مشکل اساسي در مقاطع مستطيلي تأمين همه شرايط مرزي روي سطوح آزاد ميله است. براي حل معادالت حاکم بر حرکت موج عالوه بر روش انرژي )هميلتون و ريتس( رو شهاي ديگري مانند روش تلفيقي براي مقطع مربعي ]7[ روش اجزاء محدود ]8 و 9[ و يا روش المان مرزي براي مقاطع دلخواه ]10[ و روش انطباق مود نيز مورد استفاده قرار گرفته است ]11[. رو شهاي تقريبي که بر مبناي بسط مؤلف ههاي بردار تغيير مکان بهصورت سريهاي دوتايي از مختصات مقطع ميله و حفظ تعداد معيني از جمالت استوارند نيز مورد استفاده قرار گرفت هاند. یکی از رو شهاي تحليلي انتشار موج در مقاطع مستطيلي که بر مبناي معادالت سهبعدي حرکت استوار است روش جمع آثار است ]12[. در مطالعه حاضر از اين روش براي محاسبه مؤلفههاي بردار تغيير مکان و استخراج معادله مشخصه امواج طولي خمشي و پيچشي استفاده شده است. براي اين کار يک برنامه رایانهای نوشته شده و به کمک آن ريش ههاي معادله مشخصه استخراج و سپس نمودارهاي طيف فرکانس سرعت فاز سرعت گروه و ساختار موج براي شش مود اول اين امواج بر حسب عدد موج در ميل هاي با مقطع مستطيلی به پهناي 2a و ضخامت 2b و با نسبت پهنا به ضخامت 1 و 2 و 3 ترسيم شدهاند. همچنين نسبت پهنا به ضخامت 20 بهعنوان حالت انتهايي معادل يک صفحه براي مقايسه نتايج در نظر گرفته شده است. مقايسه نتايج حاصل از این پژوهش براي حالتی که نسبت پهنا به ضخامت میله برابر با يک است با نتایج مقطع مربعي در منابع ديگر انطباق دارد. این پژوهش ضمن اینکه پیشنهادهایی برای بهبود روشهای آزمو نهای فراصوت با انتخاب مود مناسب ارائه م یدهد امکان بررسی مقاطع دیگر مانند نبشی قوطی و ناودانی را فراهم میآورد. 2-2 معادالت حاکم معادله حرکت در يک محيط االستيک ايزوتروپيک که به معادله ناوير مشهور است در رابطه )1( ارائه شده است. که در آن λ و μ ثابتهاي المه u بردار تغيير مکان ρ چگالي و t پارامتر زمان و Δ و Δ 2 به ترتيب عملگرهاي گراديان و الپالسين ميباشند. بردار تغيير مکان با استفاده از روش تجزيه هلمهلتز بهصورت ترکيبي از گراديان يک تابع پتانسيل اسکالر φ و کرل يک تابع پتانسيل برداري H که ديورژانس آن برابر صفر است نوشته م يشود. Δ Δ با جايگذاري بردار تغيير مکان در رابطه )1( و انجام عمليات الزم روابط )3( و )4( به دست ميآيند. در اين روابط سرعتهاي موج طولي و عرضي طبق رابطه )5( با ثاب تهاي المه و چگالي در ارتباط هستند. 3-3 حل معادالت در شکل 1 مقطع ميله و دستگاه محورهاي مختصات آن نشان داده شده است. x و y محورهاي روی مقطع میله و محور z همراستا با طول ميله است و صفحات x=±a و y=±b مرزهاي جانبي ميله هستند. نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان

3 طحان نادران خسرو رفیعی مرتضی محور امتداد در مکان تغيير بردار مؤلفه اگر محورهاي به نسبت دامنه اين تقارن برحسب باشد آن دامنه w 0 (x,y) و z بندی دسته زیر صورت به را ميله در قابلانتشار مودهاي ميتوان y و x یشود. م نامیده موج عدد k بندی دسته این در که کرد تراکمي يا طولي موج باشد y از هم و x از هم زوجي تابع w 0 (x,y) اگر L(. )مودهاي است است پيچشي موج باشد y از هم و x از هم فردي تابع w 0 (x,y) اگر T(. )مودهاي موج باشد برعکس يا y از زوجي تابع و x از فردي تابع w 0 (x,y) اگر.)By و Bx )مودهاي است خمشي قطرهاي به نسبت مقطع تقارن دلیل به باشد مربع ميله مقطع اگر ]7[. است قابلتشخيص نيز ديگري امواج y=±x و معادالت از معيني تعداد بهصورتمعمول مشخصه معادله ههاي ريش پژوهش در يشود. م گرفته نظر در B m و A n ضرايب از تعداد همان به ريشههاي سري( هر از ضريب )دو مجهول ضريب چهار براي فقط حاضر دو وجود با فقط معادله اين شدهاند. استخراج مشخصه معادله حقيقي داده موج عدد هر ازاي به است. قابلحل موج عدد و فرکانس متغير مودهاي ندهندهی نشا که ميآيد دست به بيشماري سهاي فرکان شده شمارهگذاري آمده دست به مود اولين از ترتيب به و هستند موج قابلانتشار اضالع نسبت و پواسون ضريب به فقط آمده بدست نتايج البته ميشوند. روش از استفاده و های رایان برنامه يك نوشتن با هستند. وابسته ميله فرکانس طيف و استخراج معادله ريشههاي هها فاصل کردن نصف عددي و اول مود شش براي موج ساختار و گروه سرعت فاز سرعت نمودارهاي شدهاند. رسم اضالع متفاوت نسبتهاي كه ميشوند ظاهر پارامترهايي همگن معادالت دستگاه تشكيل در ميشوند. جايگزين و شده محاسبه زير روابط از آنها مقادير )1-(( )2-7( )3-7( که مستطيلی مقطع با نامتناهي ميله مساله حل براي مرزي شرايط در هستند صفر آن جانبي سطوح روي بر برشي و عمودي شهاي تن يشود. م ارائه )6( رابطه ميتوان مناسب مثلثاتي توابع انتخاب و آثار جمع روش از استفاده با پيدا نحوي به نامعين ثابت ضرايب با را برداري و اسكالر پتانسيل توابع براي حركت معادالت مكان تغيير بردار ههاي مؤلف محاسبه از پس كه كرد كرنش و كرنش - مكان تغيير روابط كمك به شوند. تأمين نها زما تمام نمود. محاسبه ميله از نقطه هر در را تنش مؤلفههاي ميتوان تنش - بدون ميله خارجي سطوح آن در که مرزي شرايط اعمال از پس ميآيد دست به همگني معادالت دستگاه شدهاند گرفته نظر در تنش عمليات انجام با محاسبهاند. قابل نامعين ثابت ضرايب نها آ حل با كه از يك هر براي همگن معادالت دستگاه اين پيچيده و طوالني رياضي دستگاه اين در ]12[. شدهاند استخراج خمشي و پيچشي طولي امواج تعداد كه يشوند م ظاهر B m و A n بهصورت نامعين ثابت ضرايب معادالت جواب همگن معادالت دستگاه اين اينكه براي است. نامحدود نها آ بهاينترتيب شود. صفر آن ضرايب دترمينان بايد باشد داشته بديهي غير محاسبه براي يشود. م تشکيل ميله در قابلانتشار امواج مشخصه معادله موج انواع از هريك براي كه هستند پارامترهايي η و ξ روابط اين در مقادير کنند. ارضا را مسئله مرزي شرايط که ميآيند دست به هاي بهگون =m(. و يشوند)... n= م محاسبه زير بهصورت آنها طولي: امواج براي پيچشي: امواج براي خمشي: امواج براي خمشي و پيچشي طولي امواج براي همگن معادالت دستگاه آمدهاند. دست به )10( تا )8( روابط بهصورت طولي امواج براي همگن معادالت دستگاه مختصات دستگاه و ه ميل لکششکشمقطع و و و تابستان 2 شماره 48 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه

4 بررسي اثر نسبت اضالع ميله در انتشار امواج هدايتشده فراصوت در ميله اي با مقطع مستطيلی دستگاه معادالت همگن براي امواج پيچشي دستگاه معادالت همگن براي امواج خمشي لکششکشطيف فرکانس اولين مود طولي براي ميله با مقطع مستطيلی با نسبت اضالع مختلف )(1( الزم به توضیح است که جواب معادلهی فرکانسی فقط به ضریب پواسون و نسبت اضالع وابسته خواهد بود زیرا در معادالت فرکانسی نسبتهای سرعت فاز و سرعت گروه و همچنین نسبت ضرایب المه فقط به ضریب پواسون وابستهاند و پارامترهای دیگر با داشتن ضریب پواسون مدول کشسانی و چگالی قابلمحاسبه هستند بنابراین بیبعدسازی این پارامترها در ارائه بهتر نتایج مفید خواهد بود. در این مسئله پارامترهای بدون بعد از رابطه )11( به دست میآیند. لکششکشسرعت فاز اولين مود طولي براي ميله با مقطع مستطيلی با نسبت اضالع مختلف منحنيهاي پراکندگي طيف فرکانس سرعت فاز و سرعت گروه براي شش مود اول طولي در ميلهای با نسبت پهنا به ضخامت 2 در شکلهاي )4( تا )6( ارائه شده است. )(1( 4-4 نتایج 1-4- مود طولی نمودارهاي طيف فرکانس و سرعت فاز براي اولين مود طولي ميله مستطيلي فوالدي با ضريب پواسون 0/3 و نسب تهای پهنا به ضخامت مختلف در شکلهاي 2 و 3 ارائه شده است. مالحظه ميشود که با افزايش نسبت پهنا به ضخامت فرکانس موج قابلانتشار بهخصوص براي عددهاي موج کوچک کاهش مييابد و سرعت فاز سريعتر به سمت يک مقدار ثابت که سرعت موج سطحي ريلي نام دارد ميل م يکند و اين نمودارها بهمرور مشابه نمودارهاي موج لمب در ورق ميشوند. لکششکشطيف فرکانس موج طولي در ميله با مقطع مستطيلی نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان

5 مرتضی رفیعی خسرو نادران طحان لکششکشسرعت فاز موج طولي در ميله با مقطع مستطيلی لکششکشساختار موج مود اول طولي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 290 khz لکششکشسرعت گروه موج طولي در ميله با مقطع مستطيلی در شکل 4 ديده ميشود که فرکانس مود اول در 0=k به سمت صفر ميل ميکند ولي ساير مودها داراي يک فرکانس غير صفر هستند که فرکانس قطع ناميده م يشود و در فرکانسهاي کمتر از آن منتشر نميشوند. بنابراين مود اول تنها مود طولي است که در تمام فرکانسها قابلانتشار است. در فرکانس قطع سرعت فاز به سمت بينهايت و سرعت گروه به سمت صفر ميل ميکند. همچنين مشاهده م يشود که در فرکان سهاي باال اين نمودار تبدیل به خط مستقيم م یشود و همانطور که از شکل 5 مشاهده م يشود نمودارهاي سرعت فاز به يک مقدار ثابت که برابر با سرعت موج سطحي ريلي است ميل م يکنند. نمودارهاي سرعت گروه در شکل 6 نيز شرايط مشابهي دارند و به مقدار ثابتي ميل ميکنند. بهعنوان نمونه با در نظر گرفتن عدد موج بهصورت kb=10 جابجايي بی بعد شده در راستاي محور z براي نقاط واقع بر محور y در مقطع این میله در شک لهاي )7( و )8( رسم شده است. اين نمودارها براي انتخاب مود مناسب در آزمو نهاي غير مخرب به کار م يروند زيرا براي وضوح امواج دريافتي معموال مودي که تغيير مکان بيشتري روي مرزها ايجاد کند مناس بتر است. بنابراين مودهاي اول و پنجم از اين نقطهنظر مودهاي مناسبي هستند. لکششکشساختار موج مود پنجم طولي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 345 khz 2-4- مود پیچشی نمودارهاي طيف فرکانس و سرعت فاز براي اولين مود پيچشي در شکلهاي 9 و 10 ارائه شده است. با توجه به اين نمودارها مشاهده ميشود که با افزايش نسبت پهنا به ضخامت مقطع ميله فرکانس قطع کاهش مييابد و برعکس موج طولي سرعت فاز اولين مود پيچشي با سرعت کمتري به سمت سرعت موج ريلي ميل ميکند. همچنين با افزايش نسبت اضالع مقطع ميله نمودارها شبيه به نمودارهاي موج لمب در ورق شدهاند. نمودار پراکندگي طيف فرکانس سرعت فاز و سرعت گروه براي شش مود اول پيچشي در ميله با مقطع مستطيل و نسبت اضالع 2 به ترتيب در شکلهاي و 13 رسم شدهاند. 191 نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395

6 مستطيلی مقطع با ميله اي در فراصوت هدايتشده امواج انتشار در ميله اضالع نسبت اثر بررسي هب سريعتر فاز سرعت نتيجه در و يشود م خطي عتر سري پيچشي امواج داراي پيچشي مودهاي تمام همچنين کرد. خواهد ميل ثابت مقدار يک نميشوند. منتشر آن از کمتر فرکانسهاي در که هستند قطع فرکانس پيچشي اول مود قطع فرکانس از کوچکتر تحريک فرکانس اگر بنابراين شد. نخواهد ايجاد ميله در پيچشي مود شود گرفته نظر در مقطع با ميله براي پيچشي مود اولين فرکانس لکششکشطيف مختلف اضالع نسبت با مستطيلی مستطيلی مقطع با ميله در پيچشي امواج فاز لکشکشکشسرعت مستطيلی مقطع با ميله براي پيچشي مود اولين فاز لکشکشکشسرعت مختلف اضالع نسبت با مستطيلی مقطع با ميله در پيچشي امواج گروه لکشکشکشسرعت مستطيلی مقطع با ميله در پيچشي امواج فرکانس لکشکشکشطيف موج اعداد براي فرکانس طيف که ميشود مشاهده 11 شکل در گروه سرعت و فاز سرعت نمودارهاي درنتيجه و ميشود خطي بزرگ فرکانس طيف طولي امواج با مقايسه در ميکنند. ميل ثابت مقداري به در مستطيلی مقطع با ميله در پيچشي اول مود موج لکشکشکشساختار 300 khz فرکانس 1395 تابستان 2 شماره 48 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه 192

7 مرتضی رفیعی خسرو نادران طحان لکشکشکشساختار موج مود پنجم پيچشي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 370 khz لکشکشکشطيف فرکانس اولين مود خمشي براي ميله با مقطع مستطيلی با نسبت اضالع مختلف تغيير مکان بدون بعد مود اول و پنجم پيچشي در ميله با مقطع مستطيل با نسبت اضالع 2 و عدد موج kb=10 به ترتيب در شكلهاي 14 و 15 رسم شده است. با توجه به اينکه اندازه ضلعهاي مقطع ميله باهم برابر نيستند u x براي نقاط واقع بر u y براي نقاط واقع بر محور x با جابجايي جابجايي محور y متفاوت است. بنابراين براي انتخاب مودهايي با تحريک مناسب بايد به اين نکته توجه شود زیرا براي بعضي از مودها جابجايي روي سطوح مختلف ميله تفاوت قابلتوجهي باهم دارند مود خمشی نمودارهاي طيف فرکانس و سرعت فاز براي اولين مود خمشي در شکلهاي 16 و 17 ارائه شده است. با افزايش نسبت پهنا به ضخامت ميله فرکانس امواج قابل انتشار براي يک عدد موج معين اندکي افزايش مییابد و با افزايش عدد موج يا فرکانس اين نمودارها مشابه نمودارهاي موج برشي در ورق ميشوند. نمودارهاي طيف فرکانس سرعت فاز و سرعت گروه براي شش مود اول خمشي در ميله فوالدي با مقطع مستطيل و نسبت پهنا به ضخامت 2 به ترتيب در شکلهاي 18 تا 20 نشان داده شدهاند. در شکل 18 مشاهده م يشود که مود اول در 0=k به سمت صفر ميل ميکند درحاليکه ساير مودها به سمت يک فرکانس معين ميل ميکنند. بنابراين غير از مود اول که در تمام فرکانسها قابلانتشار است ساير مودها داراي يک فرکانس قطع هستند که در آن سرعت فاز به سمت بينهايت و سرعت گروه به سمت صفر ميل ميکند. ساختار موج مودهاي اول و پنجم خمشي براي ميله با مقطع مستطيل با نسبت اضالع 2 و عدد موج kb=10 در شکلهاي 21 تا 24 رسم شده است. خطچين جابجايي در جهت محور z و خط پر جابجايي در جهت محور x را نشان ميدهد. لکشکشکشسرعت فاز اولين مود خمشي براي ميله با مقطع مستطيلی با نسبت اضالع مختلف لکشکشکشطيف فرکانس موج خمشي در ميله با مقطع مستطيلی 193 نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395

8 بررسي اثر نسبت اضالع ميله در انتشار امواج هدايتشده فراصوت در ميله اي با مقطع مستطيلی لکشکشکشسرعت فاز موج خمشي در ميله با مقطع مستطيلی لکشکشکشساختار موج مود اول خمشي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 290 khz روی محور x لکشکشکشسرعت گروه موج خمشي در ميله با مقطع مستطيلی لکشکشکشساختار موج مود اول خمشي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 350 khz روی محور y لکشکشکشساختار موج مود اول خمشي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 290 khz روی محور y لکشکشکشساختار موج مود اول خمشي در ميله با مقطع مستطيلی در فرکانس 350 khz روی محور x نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان

9 طحان نادران خسرو رفیعی مرتضی [3] Morse, R. W., 1948, Dispersion of compressional waves in isotropic rods of rectangular cross section, J. Acoust. Soc. Am., 20, pp [4] Morse, R. W., 1950, The velocity of compressional waves in rods of rectangular cross section, J. Acoust. Soc. Am., 22, pp [5] Medick,M. A., 1967, On dispersion of longitudinal waves in rectangular bars, Trans. ASME, J. Appl. Mech., 34, pp [6] Aalami,B., 1973, Waves in prismatic guides of arbitrary cross section, Trans. ASME, J. Appl. Mech., 40, pp [7] Fraser, W. B., 1970, Longitudinal elastic waves in square bars, Trans. ASME, J. Appl. Mech., 37, pp [8] Hayashi, T., Song, W. J., Rose, J. L., 2003, Guided wave dispersion curves for a bar with an arbitrary cross section, a rod and rail example, Ultrasonics, 41, pp [9] Hayashi, T., Tamayama, C., Murase, M., 2006, Wave structure analysis of guided waves in a bar with an arbitrary cross section, Ultrasonics, 44, pp [10] Gunawan A., Hirose S., 2005, Boundary element analysis of guided waves in a bar with an arbitrary cross section, Engineering Analysis With Boundary Elements, Vol. 29, pp [11] Miyamoto, T., Yasuura,K., 1977, Numerical analysis on isotropic elastic waveguides by modematching method II. Particle velocities and dispersion characteristics in rods of rectangular cross section, IEEE Trans. Sonics Ultrason., SU-24, pp [12] Tanaka, K., Iwahashi, Y., 1977, Dispersion relation of elastic waves in bars of rectangular cross section, Bull. JSME, 20, pp نتیجهگیری امواج انتشار بررسي براي تحليلي روش يک بهعنوان آثار جمع روش بار اولين که روش اين شد. گرفته بهکار مستطيل مقطع با ههايي ميل در برده بهکار مربع مقطع با هاي ميل در امواج تجزيه نمودارهاي تحليل براي با همگن معادالت دستگاه يک ويژه مقادير تعيين به منجر ]12[ شد روش از بايد ويژه مقادير اين یافتن براي که يشود م معادله بينهايت شود. استفاده دستگاه اين ضرايب ماتريس مرتبه کاهش براي مناسبي مطالعه در که معادالت از معيني تعداد انتخاب با که میرسد نظر به اگرچه از مستطيلي مقاطع براي بها جوا است گرفته قرار مورداستفاده حاضر در شده ارائه نتايج با آمده دست به نتايج ولي نباشد برخوردار کافی دقت استفاده مربع مقطع خاص حالت براي مشابهی روش از که ]12[ مرجع حل جديد شهاي رو از استفاده با البته دارد. انطباق کامال است کرده زین قتر دقي خهاي پاس به دستيابي امکان معادله بينهايت با دستگاهها دارد. وجود شدهاند. محاسبه مشخصه معادله حقيقي ههاي ريش حاضر بررسي در و موهومي ههاي ريش ميتوان ميله ارتعاشي رفتار کامل تحليل براي به توجه با کرد. بررسي و استخراج نيز را مشخصه معادله مختلط يا موج عدد بزرگ مقادير براي که شد داده نشان آمده دست به نمودارهاي زا صرفنظر طولي مود اولين فاز سرعت کوتاه( جهاي طولمو )محدوده سطحي موج سرعت است ممکن که ثابت عدد يک به مقطع ابعاد اندازه مقدار اين براي ديگري تعريف منابع برخي در يکند. م ميل باشد ريلي فرکانسهاي در يا موج عدد کوچک مقادير براي ]1[. است شده ارائه ثابت ضخامت به پهنا نسبت افزايش با بلند( جهاي طولمو )محدوده پايين اين به سريعتر پيچشي مود اولين از غير مودها تمام فاز سرعت ميله ميکند. ميل ثابت عدد امواج دريافتکننده حسگرهاي در بيشتر وضوح ايجاد براي موج ساختار نمودارهاي باشند. داشته قابلتوجهي دامنه باید يها جابجاي هک کرد انتخاب هاي بهگون را مناسب فرکانس و مود بتوان تا يکنند م کمک مستطيل مقطع با ميله در شود. ظاهر موردنظر وجه روي هها دامن بيشترين قطع فرکانس داراي مودها ساير خمشي و طولي اول مودهاي از غير فرکانسهاي نميشوند. منتشر آن از کمتر فرکانسهاي در که هستند مربع مقطع در قطع فرکانس از کمتر مستطيل مقطع با ميله در قطع بيشتري کاهش فرکانس اين ميله مقطع اضالع نسبت افزايش با و است ييابد. م 6-6 مراجع [1] Meleshko, V. V., Bondarenko, A. A., Trofimchuk, A. N., Abasov, R. Z., 2010 Elastic waveguides: History and the state of the art. II, Journal of Mathematical Sciences, 167 (2), pp [2] Graff, K. F., 1991, Wave motion in elastic solids, Dover Publications Inc., New York تابستان 2 شماره 48 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه

10